Calcolo Esempi

$y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{6} - 3 x^{4} + 2 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{6}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $6$ per $5$ .

$30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$30 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$30 x^{5} - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + \frac{d}{d x} [- 9]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.5.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ e $0$ .

$30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

$x \approx - 0.74790241$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 0.74790241) \cup (- 0.74790241, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dell'intervallo $(- \infty, - 0.74790241)$ nella derivata prima $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 30 {(- 3)}^{5} - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 3) = 30 \cdot - 243 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $30$ per $- 243$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 {(- 3)}^{3} + 2$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 3) = - 7290 - 12 \cdot - 27 + 2$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $- 27$ .

$f' (- 3) = - 7290 + 324 + 2$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 7290$ e $324$ .

$f' (- 3) = - 6966 + 2$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 6966$ e $2$ .

$f' (- 3) = - 6964$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 6964$ .

$- 6964$

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 0.74790241, \infty)$ nella derivata prima $30 x^{5} - 12 x^{3} + 2$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 30 {(0)}^{5} - 12 {(0)}^{3} + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 30 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $30$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 {(0)}^{3} + 2$

Passaggio 6.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f' (0) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 7

Poiché la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 0.74790241$ , allora c'è un punto in cui la derivata cambia segno per $x = - 0.74790241$ .

Passaggio 8

Trova la coordinata y di $- 0.74790241$ per trovare il punto in cui la derivata cambia segno.

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Passaggio 8.1

Trova $f (- 0.74790241)$ per calcolare la coordinata y di $- 0.74790241$ .

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Passaggio 8.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.74790241$ nell'espressione.

$f (- 0.74790241) = 5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2

Semplifica $5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$5 {(- 0.74790241)}^{6} - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.1.2.2.1

Eleva $- 0.74790241$ alla potenza di $6$ .

$5 \cdot 0.17501272 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2.2.2

Moltiplica $5$ per $0.17501272$ .

$0.8750636 - 3 {(- 0.74790241)}^{4} + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2.2.3

Eleva $- 0.74790241$ alla potenza di $4$ .

$0.8750636 - 3 \cdot 0.31288139 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2.2.4

Moltiplica $- 3$ per $0.31288139$ .

$0.8750636 - 0.93864419 + 2 (- 0.74790241) - 9$

Passaggio 8.1.2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 0.74790241$ .

$0.8750636 - 0.93864419 - 1.49580483 - 9$

Passaggio 8.1.2.3

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 8.1.2.3.1

Sottrai $0.93864419$ da $0.8750636$ .

$- 0.06358059 - 1.49580483 - 9$

Passaggio 8.1.2.3.2

Sottrai $1.49580483$ da $- 0.06358059$ .

$- 1.55938542 - 9$

Passaggio 8.1.2.3.3

Sottrai $9$ da $- 1.55938542$ .

$- 10.55938542$

Passaggio 8.2

Scrivi le coordinate $x$ e $y$ in forma punto.

$(- 0.74790241, - 10.55938542)$

Passaggio 9