Calcolo Esempi

$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [y^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1} y'$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{2 - 3}{3}} y'$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{\frac{- 1}{3}} y'$

Passaggio 2.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2}{3} y^{- \frac{1}{3}} y'$

Passaggio 2.3.8

$\frac{2}{3}$ e $y^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3} y'$

Passaggio 2.3.9

$\frac{2 y^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $y'$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y^{- \frac{1}{3}} y'}{3}$

Passaggio 2.3.10

Sposta $y^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica ogni lato per $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Semplifica $\frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{2 y'}{3 y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y' = - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1

Semplifica $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Scomponi $3$ da $3 y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} (3 (y^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 5.3.2.1.1.4

Elimina il fattore comune.

$2 y' = \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 y^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 5.3.2.1.1.5

Riscrivi l'espressione.

$2 y' = \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}} y^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ e $y^{\frac{1}{3}}$ .

$2 y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y'}{2} = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}}{2}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Scomponi $2$ da $- 2 y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{\frac{1}{3}})}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$