Calcolo Esempi

$\cos (x y) = 1 + \sin (y)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (1 + \sin (y))$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (y)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$0 + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$0 + \cos (y) y'$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\cos (y) y'$ .

$\cos (y) y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Riordina i fattori in $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = \cos (y) y'$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.1

Riordina i fattori in $\cos (y) y'$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = y' \cos (y)$

Passaggio 5.3

Sottrai $y' \cos (y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) - y' \cos (y) = 0$

Passaggio 5.4

Somma $y \sin (x y)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- x y' \sin (x y) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Passaggio 5.5

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y) - y' \cos (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $y'$ da $- x y' \sin (x y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) - y' \cos (y) = y \sin (x y)$

Passaggio 5.5.2

Scomponi $y'$ da $- y' \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Passaggio 5.5.3

Scomponi $y'$ da $y' (- x \sin (x y)) + y' (- 1 \cos (y))$ .

$y' (- x \sin (x y) - 1 \cos (y)) = y \sin (x y)$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1 \cos (y)$ come $- \cos (y)$ .

$y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$

Passaggio 5.7

Dividi per $- x \sin (x y) - \cos (y)$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ e semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Dividi per $- x \sin (x y) - \cos (y)$ ciascun termine in $y' (- x \sin (x y) - \cos (y)) = y \sin (x y)$ .

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- x \sin (x y) - \cos (y)$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x \sin (x y) - \cos (y))}{- x \sin (x y) - \cos (y)} = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y) - \cos (y)}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x \sin (x y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - \cos (y)}$

Passaggio 5.7.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \cos (y)$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y)) - (\cos (y))}$

Passaggio 5.7.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x \sin (x y)) - (\cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Passaggio 5.7.3.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.7.3.4.1

Riscrivi $- (x \sin (x y) + \cos (y))$ come $- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))$ .

$y' = \frac{y \sin (x y)}{- 1 (x \sin (x y) + \cos (y))}$

Passaggio 5.7.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \sin (x y)}{x \sin (x y) + \cos (y)}$