Calcolo Esempi

$x^{y} = y^{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{y}) = \frac{d}{d x} (y^{x})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = y$ .

$\frac{d}{d x} [x] (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 (y x^{y - 1}) + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y x^{y - 1} + \frac{d}{d x} [y] (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y x^{y - 1} + y' (x^{y} \ln (x))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $x^{y - 1} y + x^{y} \ln (x) y'$ .

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della potenza generalizzata secondo cui $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = y$ e $g = x$ .

$\frac{d}{d x} [y] (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' (x y^{x - 1}) + \frac{d}{d x} [x] (y^{x} \ln (y))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + 1 (y^{x} \ln (y))$

Passaggio 3.4

Moltiplica $y^{x}$ per $1$ .

$y' (x y^{x - 1}) + y^{x} \ln (y)$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Riordina i termini.

$y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$

Passaggio 3.5.2

Riordina i fattori in $y^{x - 1} x y' + y^{x} \ln (y)$ .

$x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y x^{y - 1} + x^{y} \ln (x) y' = x y^{x - 1} y' + y^{x} \ln (y)$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $x^{y} \ln (x) y' - y^{x} \ln (y)$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $- y x^{y - 1} + x y^{x - 1} y'$ .

$y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y) = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori in $y' x^{y} \ln (x) - y^{x} \ln (y)$ .

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} = - y x^{y - 1} + x y' y^{x - 1}$

Passaggio 5.5

Sottrai $x y' y^{x - 1}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x) x^{y} - \ln (y) y^{x} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1}$

Passaggio 5.6

Somma $\ln (y) y^{x}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Passaggio 5.7

Scomponi $y'$ da $y' \ln (x) x^{y} - x y' y^{x - 1}$ .

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Passaggio 5.7.1

Scomponi $y'$ da $y' \ln (x) x^{y}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) - x y' y^{x - 1} = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Passaggio 5.7.2

Scomponi $y'$ da $- x y' y^{x - 1}$ .

$y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Passaggio 5.7.3

Scomponi $y'$ da $y' (\ln (x) x^{y}) + y' (- x y^{x - 1})$ .

$y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$

Passaggio 5.8

Dividi per $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ ciascun termine in $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ e semplifica.

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Passaggio 5.8.1

Dividi per $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ ciascun termine in $y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}) = - y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}$ .

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.8.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}$ .

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Passaggio 5.8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- y x^{y - 1}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}} + \frac{\ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y x^{y - 1} + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y x^{y - 1}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) + \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3.3

Scomponi $- 1$ da $\ln (y) y^{x}$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (y x^{y - 1}) - (- \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.8.3.5.1

Riscrivi $- (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ come $- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})$ .

$y' = \frac{- 1 (y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x})}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 5.8.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y x^{y - 1} - \ln (y) y^{x}}{\ln (x) x^{y} - x y^{x - 1}}$