Calcolo Esempi

$y = x^{x}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{x})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi $x^{x}$ come $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Passaggio 3.1.2

Espandi $\ln (x^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 3.5.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $e^{x \ln (x)}$ per $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Passaggio 3.6.3

Riordina i termini.

$e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$