Calcolo Esempi

$y = \cot^{2} (\sin (θ))$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cot (\sin (θ))$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\cot (\sin (θ))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\cot (\sin (θ))$ .

$2 \cot (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\cot (\sin (θ))]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ è $f' (g (θ)) g' (θ)$ dove $f (θ) = \cot (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cot (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (θ)$ .

$2 \cot (\sin (θ)) (- \csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Passaggio 3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) (\csc^{2} (\sin (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)])$

Passaggio 4

La derivata di $\sin (θ)$ rispetto a $θ$ è $\cos (θ)$ .

$- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori di $- 2 \cot (\sin (θ)) \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ)$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.2

Riscrivi $\csc (\sin (θ))$ in termini di seno e coseno.

$- 2 {(\frac{1}{\sin (\sin (θ))})}^{2} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ .

$- 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 2 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.5

$- 2$ e $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$\frac{- 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cos (θ) \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.7

$\cos (θ)$ e $\frac{2}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (θ) \cdot 2}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.8

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (θ)$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ))$

Passaggio 5.9

Riscrivi $\cot (\sin (θ))$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$

Passaggio 5.10

Moltiplica $- \frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ .

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Passaggio 5.10.1

Moltiplica $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ per $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Passaggio 5.10.2

Moltiplica $\sin (\sin (θ))$ per $\sin^{2} (\sin (θ))$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.10.2.1

Moltiplica $\sin (\sin (θ))$ per $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

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Passaggio 5.10.2.1.1

Eleva $\sin (\sin (θ))$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{1} (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Passaggio 5.10.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{{\sin (\sin (θ))}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.10.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (θ)) (2 \cos (θ))}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Passaggio 5.11

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cdot \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin^{3} (\sin (θ))}$

Passaggio 5.12

Scomponi $\sin (\sin (θ))$ da $\sin^{3} (\sin (θ))$ .

$- \frac{2 \cos (\sin (θ)) \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin^{2} (\sin (θ))}$

Passaggio 5.13

Frazioni separate.

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))})$

Passaggio 5.14

Converti da $\frac{\cos (\sin (θ))}{\sin (\sin (θ))}$ a $\cot (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.15

Scomponi $\sin (\sin (θ))$ da $\sin^{2} (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2 \cos (θ)}{\sin (\sin (θ)) \sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.16

Frazioni separate.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))} \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.17

Riscrivi $\frac{\cos (θ)}{\sin (\sin (θ))}$ come un prodotto.

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.18

Scrivi $\cos (θ)$ come una frazione con denominatore $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\frac{\cos (θ)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.19

Semplifica.

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Passaggio 5.19.1

Dividi $\cos (θ)$ per $1$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \frac{1}{\sin (\sin (θ))}) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.19.2

Converti da $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ a $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.20

Frazioni separate.

$- (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (θ))} (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.21

Converti da $\frac{1}{\sin (\sin (θ))}$ a $\csc (\sin (θ))$ .

$- (\frac{2}{1} \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.22

Dividi $2$ per $1$ .

$- (2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ))) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.23

Moltiplica $2 \csc (\sin (θ)) (\cos (θ) \csc (\sin (θ)))$ .

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Passaggio 5.23.1

Eleva $\csc (\sin (θ))$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.23.2

Eleva $\csc (\sin (θ))$ alla potenza di $1$ .

$- (2 (\csc^{1} (\sin (θ)) \csc^{1} (\sin (θ))) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.23.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (2 {\csc (\sin (θ))}^{1 + 1} \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.23.4

Somma $1$ e $1$ .

$- (2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ)))$

Passaggio 5.24

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \csc^{2} (\sin (θ)) \cos (θ) \cot (\sin (θ))$