Calcolo Esempi

$x e^{y} = x - y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{y}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x e^{y} y' + e^{y} \cdot 1$

Passaggio 2.5

Moltiplica $e^{y}$ per $1$ .

$x e^{y} y' + e^{y}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x e^{y} y' + e^{y} = 1 - y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $x e^{y} y' + e^{y}$ .

$x y' e^{y} + e^{y} = 1 - y'$

Passaggio 5.2

Somma $y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{y} + e^{y} + y' = 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y' e^{y} + y' = 1 - e^{y}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $x y' e^{y} + y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $x y' e^{y}$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Passaggio 5.4.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (x e^{y}) + y' = 1 - e^{y}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (x e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{y}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (x e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$

Passaggio 5.5

Dividi per $x e^{y} + 1$ ciascun termine in $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $x e^{y} + 1$ ciascun termine in $y' (x e^{y} + 1) = 1 - e^{y}$ .

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $x e^{y} + 1$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x e^{y} + 1)}{x e^{y} + 1} = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{x e^{y} + 1} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - e^{y}}{x e^{y} + 1}$