Calcolo Esempi

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$5 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $5 - x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 5$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 5$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 5$ per $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Passaggio 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{5}$

Passaggio 1.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $\sqrt{5}$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Passaggio 2

Riordina $5$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 3$ e $- \sqrt{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $- x^{2} + 5$ da $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Passaggio 4.5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Passaggio 4.6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Passaggio 4.7

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Passaggio 4.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ e $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ per $- \sqrt{5}$ e per $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.4

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.5

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.6

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.7

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.8

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.9

$\frac{1}{3}$ e $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.10

Elimina il fattore comune di $- 27$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.10.1

Scomponi $3$ da $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.2.2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.10.2.4

Dividi $- 9$ per $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Passaggio 4.8.2.2.11

Moltiplica $- 5$ per $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Passaggio 4.8.2.2.12

Somma $- 9$ e $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Passaggio 4.8.2.2.13

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Passaggio 4.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.3.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Passaggio 4.8.3.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Passaggio 4.8.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Passaggio 4.8.3.3

Per scrivere $5 \sqrt{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Passaggio 4.8.3.4

$5 \sqrt{5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Passaggio 4.8.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Passaggio 4.8.3.6

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Passaggio 4.8.3.7

Somma $- 5 \sqrt{5}$ e $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Passaggio 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Passaggio 6

Integra per trovare l'area tra $- \sqrt{5}$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Passaggio 6.2

Sottrai $0$ da $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Passaggio 6.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Passaggio 6.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Passaggio 6.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Passaggio 6.7

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Passaggio 6.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $2$ e per $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Passaggio 6.8.1.2

Calcola $5 x$ per $2$ e per $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.3

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.5

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{3}$ come $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.6

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.9

Moltiplica $\frac{\sqrt{125}}{3}$ per $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.10

Moltiplica $5$ per $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Passaggio 6.8.1.3.11

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1

Riscrivi $125$ come $5^{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.2.1.1

Scomponi $25$ da $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.2.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.2

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.3

$10$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.3.5.1

Moltiplica $10$ per $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.5.2

Somma $- 8$ e $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Passaggio 6.8.3.6

Per scrivere $5 \sqrt{5}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.8.3.7

$5 \sqrt{5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.8.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.8.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Passaggio 6.8.3.10

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 6.8.3.11

Somma $- 5 \sqrt{5}$ e $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7

Somma le aree $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.2

Somma $10 \sqrt{5}$ e $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.3

Per scrivere $- 6$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

$- 6$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 7.5.2

Somma $- 18$ e $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Forma decimale:

$16.24045318 \dots$

Passaggio 9