Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ ; $[1, 4]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4, 8 x^{2}, 1 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.2

Since $4, 8 x^{2}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $4, 8, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}$ .

Passaggio 1.2.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

$1$ Elenca i fattori primi di ciascun numero.

Passaggio 1.2.1.4

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.5

I fattori primi per $8$ sono $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.5.1

$8$ presenta fattori di $2$ e $4$ .

$2 \cdot 4$

Passaggio 1.2.1.5.2

$4$ presenta fattori di $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2 \cdot 2$

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Not $p r i m e + y = 0$

Passaggio 1.2.1.7

Il minimo comune multiplo di $4, 8, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2 \cdot 2 \cdot 2 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.8

Moltiplica $2 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.8.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \cdot 2 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.8.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$8 + y = 0$

Passaggio 1.2.1.9

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

Passaggio 1.2.1.10

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{2}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x + y = 0$

Passaggio 1.2.1.11

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + y = 0$

Passaggio 1.2.1.12

Il minimo comune multiplo di $4, 8 x^{2}, 1$ è la parte numerica $8$ moltiplicata per la parte variabile.

$8 x^{2} + y = 0$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica per $8 x^{2}$ ciascun termine in $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} = 0$ per $8 x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{4} (8 x^{2}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$4 (2) \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 2 \frac{x^{4}}{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{4} x^{2} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x^{4}) + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{2 + 4} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.3.3

Somma $2$ e $4$ .

$2 x^{6} + \frac{1}{8 x^{2}} (8 x^{2}) = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.5.1

Scomponi $8$ da $8 x^{2}$ .

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 (x^{2})} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$2 x^{6} + 8 \frac{1}{8 x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 x^{6} + \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x^{6} + 1 = 0 (8 x^{2})$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Moltiplica $0 (8 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1.1

Moltiplica $8$ per $0$ .

$2 x^{6} + 1 = 0 x^{2}$

Passaggio 1.2.2.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{2}$ .

$2 x^{6} + 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{6} = - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{6} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{6} = - 1$ .

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{6}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.2.1.2

Dividi $x^{6}$ per $1$ .

$x^{6} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{6} = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.4

Semplifica $\pm \sqrt[6]{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{2}$ come $i^{6} \frac{1^{6}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.4.1.1

Riscrivi $- 1$ come $i^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{i^{6} \frac{1^{6}}{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1^{6}}{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \pm i \sqrt[6]{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.4

Riscrivi $\sqrt[6]{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt[6]{1}}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.2.3.4.6

$i$ e $\frac{1}{\sqrt[6]{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}, - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $\frac{i}{\sqrt[6]{2}}$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

Elenca tutte le soluzioni.

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

$y = 0, x = - \frac{i}{\sqrt[6]{2}}$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x - \int_{1}^{4} 0 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $1$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} - (0) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $0$ da $\frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Passaggio 3.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{4} \frac{x^{4}}{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Passaggio 3.4

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} x^{4} d x + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Passaggio 3.5

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} \frac{1}{8 x^{2}} d x$

Passaggio 3.6

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3.7

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.7.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} \int_{1}^{4} x^{- 2} d x$

Passaggio 3.8

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{5} x^{5}]_{1}^{4} + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Passaggio 3.9

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Calcola $\frac{1}{5} x^{5}$ per $4$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} - x^{- 1}]_{1}^{4}$

Passaggio 3.9.2

Calcola $- x^{- 1}$ per $4$ e per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 4^{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.2

$\frac{1}{5}$ e $1024$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1^{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 1) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1024}{5} - \frac{1}{5}) + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1024 - 1}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.6

Sottrai $1$ da $1024$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1023}{5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.7

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{1023}{5}$ .

$\frac{1023}{4 \cdot 5} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.8

Moltiplica $4$ per $5$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- 4^{- 1} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Passaggio 3.9.3.10

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + 1)$

Passaggio 3.9.3.11

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Passaggio 3.9.3.12

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{- 1 + 4}{4}$

Passaggio 3.9.3.13

Somma $- 1$ e $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{1}{8} \cdot \frac{3}{4}$

Passaggio 3.9.3.14

Moltiplica $\frac{1}{8}$ per $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{8 \cdot 4}$

Passaggio 3.9.3.15

Moltiplica $8$ per $4$ .

$\frac{1023}{20} + \frac{3}{32}$

Passaggio 3.9.3.16

Per scrivere $\frac{1023}{20}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32}$

Passaggio 3.9.3.17

Per scrivere $\frac{3}{32}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023}{20} \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.9.3.18

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $160$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.18.1

Moltiplica $\frac{1023}{20}$ per $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{20 \cdot 8} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.9.3.18.2

Moltiplica $20$ per $8$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3}{32} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 3.9.3.18.3

Moltiplica $\frac{3}{32}$ per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{32 \cdot 5}$

Passaggio 3.9.3.18.4

Moltiplica $32$ per $5$ .

$\frac{1023 \cdot 8}{160} + \frac{3 \cdot 5}{160}$

Passaggio 3.9.3.19

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1023 \cdot 8 + 3 \cdot 5}{160}$

Passaggio 3.9.3.20

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.3.20.1

Moltiplica $1023$ per $8$ .

$\frac{8184 + 3 \cdot 5}{160}$

Passaggio 3.9.3.20.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

$\frac{8184 + 15}{160}$

Passaggio 3.9.3.20.3

Somma $8184$ e $15$ .

$\frac{8199}{160}$

Passaggio 4