Calcolo Esempi

$y = x^{2} - 3$ , $[0, 6]$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$x^{2} - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $x^{2} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 3$

Passaggio 1.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{3}$

Passaggio 1.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $\sqrt{3}$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

$(\sqrt{3}, 0)$

$(- \sqrt{3}, 0)$

Passaggio 2

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{0}^{\sqrt{3}} 0 d x - \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} - 3 d x$

Passaggio 3

Integra per trovare l'area tra $0$ e $\sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} 0 - (x^{2} - 3) d x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x^{2} - 3$ da $0$ .

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - (x^{2} - 3) d x$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} + 3 d x$

Passaggio 3.4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{\sqrt{3}} - x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int_{0}^{\sqrt{3}} x^{2} d x + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Passaggio 3.7

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + \int_{0}^{\sqrt{3}} 3 d x$

Passaggio 3.8

Applica la regola costante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\sqrt{3}}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $\sqrt{3}$ e per $0$ .

$- ((\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 x]_{0}^{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.9.1.2

Calcola $3 x$ per $\sqrt{3}$ e per $0$ .

$- (\frac{{\sqrt{3}}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.3.1

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$- (\frac{\sqrt{3^{3}}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.4

Elimina il fattore comune di $0$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.3.4.1

Scomponi $3$ da $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.1.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.4.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} - 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- (\frac{\sqrt{27}}{3} + 0) + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.6

Somma $\frac{\sqrt{27}}{3}$ e $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} - 3 \cdot 0$

Passaggio 3.9.1.3.7

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3} + 0$

Passaggio 3.9.1.3.8

Somma $3 \sqrt{3}$ e $0$ .

$- \frac{\sqrt{27}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$- \frac{\sqrt{9 (3)}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.9.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2.3.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}$

Passaggio 3.9.2.4

Somma $- \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 4

$A r e a = \int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x - \int_{\sqrt{3}}^{6} 0 d x$

Passaggio 5

Integra per trovare l'area tra $\sqrt{3}$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 - (0) d x$

Passaggio 5.2

Sottrai $0$ da $x^{2} - 3$ .

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} - 3 d x$

Passaggio 5.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{\sqrt{3}}^{6} x^{2} d x + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Passaggio 5.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + \int_{\sqrt{3}}^{6} - 3 d x$

Passaggio 5.5

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6} + - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Passaggio 5.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{\sqrt{3}}^{6}$ e $- 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 3 x]_{\sqrt{3}}^{6}$

Passaggio 5.6.2

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Calcola $\frac{1}{3} x^{3} - 3 x$ per $6$ e per $\sqrt{3}$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} - 3 \cdot 6) - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 216 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $216$ .

$\frac{216}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.3

Elimina il fattore comune di $216$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Scomponi $3$ da $216$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{72}{1} - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.3.2.4

Dividi $72$ per $1$ .

$72 - 3 \cdot 6 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.4

Moltiplica $- 3$ per $6$ .

$72 - 18 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.5

Sottrai $18$ da $72$ .

$54 - (\frac{1}{3} {\sqrt{3}}^{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{3^{3}} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.7

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$54 - (\frac{1}{3} \sqrt{27} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.2.2.8

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{27}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{27}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$54 - (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$54 - (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$54 - (\frac{3 \sqrt{3}}{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.3.2

Dividi $\sqrt{3}$ per $1$ .

$54 - (\sqrt{3} - 3 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.4

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $\sqrt{3}$ .

$54 - (- 2 \sqrt{3})$

Passaggio 5.6.3.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$54 + 2 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Somma $2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$54 + 4 \sqrt{3}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$54 + 4 \sqrt{3}$

Forma decimale:

$60.92820323 \dots$

Passaggio 8