Calcolo Esempi

$- x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 6 x + 24$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 6 x + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 6 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 + \frac{d}{d x} [5]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 6 x + 24$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 24$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 6 x + 24$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 6 x + 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2} + 6 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 6 x + 24 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 3$ da $6 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) + 24 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 3$ da $24$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2}) - 3 (- 2 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 3$ da $- 3 (x^{2} - 2 x) - 3 (- 8)$ .

$- 3 (x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 3 ((x - 4) (x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 3 (x - 4) (x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 (x - 4) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 4, - 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4, - 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 4 + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$- 24 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $- 24$ e $6$ .

$- 18$

Passaggio 10

$x = 4$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - {(4)}^{3} + 3 {(4)}^{2} + 24 (4) + 5$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = - 1 \cdot 64 + 3 {(4)}^{2} + 24 (4) + 5$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $64$ .

$f (4) = - 64 + 3 {(4)}^{2} + 24 (4) + 5$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = - 64 + 3 \cdot 16 + 24 (4) + 5$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f (4) = - 64 + 48 + 24 (4) + 5$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $24$ per $4$ .

$f (4) = - 64 + 48 + 96 + 5$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 64$ e $48$ .

$f (4) = - 16 + 96 + 5$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 16$ e $96$ .

$f (4) = 80 + 5$

Passaggio 11.2.2.3

Somma $80$ e $5$ .

$f (4) = 85$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $85$ .

$y = 85$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot - 2 + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$12 + 6$

Passaggio 13.2

Somma $12$ e $6$ .

$18$

Passaggio 14

$x = - 2$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 5$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f (- 2) = 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 5$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$f (- 2) = 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) + 5$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 8 + 3 \cdot 4 + 24 (- 2) + 5$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (- 2) = 8 + 12 + 24 (- 2) + 5$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 8 + 12 - 48 + 5$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $8$ e $12$ .

$f (- 2) = 20 - 48 + 5$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $48$ da $20$ .

$f (- 2) = - 28 + 5$

Passaggio 15.2.2.3

Somma $- 28$ e $5$ .

$f (- 2) = - 23$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 23$ .

$y = - 23$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 5$ .

$(4, 85)$ è un massimo locale

$(- 2, - 23)$ è un minimo locale

Passaggio 17