Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i fattori in $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.3.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 3)) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - e^{x} (x - 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{4} (e^{x} + (x - 3) e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) - 4 e^{x} (x - 3) x^{3}}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Scomponi $x^{3}$ da $- 4 e^{x} (x - 3) x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Scomponi $x^{3}$ da $x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x})) + x^{3} (- 4 e^{x} (x - 3))$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{8}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x^{3}$ da $x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{x^{3} (x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3))}{x^{3} x^{5}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 3) e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} (x - 3)}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x \cdot x e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} + x (- 3 e^{x}) - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x - 4 e^{x} \cdot - 3}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x^{2} e^{x} - 3 x e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.2

Sottrai $3 x e^{x}$ da $x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} - 4 e^{x} x + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.3

Sottrai $4 e^{x} x$ da $- 2 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x e^{x} - 4 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.4.3.2

Sottrai $4 x e^{x}$ da $- 2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 x e^{x} + x^{2} e^{x} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.5

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{- 6 e^{x} x + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.6

Scomponi $- 1$ da $- 6 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) + e^{x} x^{2} + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.7

Scomponi $- 1$ da $e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.8

Scomponi $- 1$ da $- (6 e^{x} x) - (- e^{x} x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) + 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.9

Scomponi $- 1$ da $12 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.10

Scomponi $- 1$ da $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2}) - (- 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.11

Riscrivi $- (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ come $- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x})}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 2.8.13

Riordina i fattori in $- \frac{6 e^{x} x - e^{x} x^{2} - 12 e^{x}}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{6 x e^{x} - x^{2} e^{x} - 12 e^{x}}{x^{5}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - e^{x} (3 x^{2})}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Riordina i fattori in $x^{3} e^{x} - 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} - 3 x^{2} e^{x}}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.2

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $e^{x} x^{3} - 3 e^{x} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $e^{x} x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) - 3 e^{x} x^{2}}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- 3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (e^{x} x) + x^{2} (- 3 e^{x})$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} x - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) - 3 e^{x})}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 3 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.3.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 3$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

$\frac{x^{2} e^{x} (x - 3)}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.4

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.4.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} e^{x} (x - 3)$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{6}}$

Passaggio 4.1.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.4.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 4.1.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} (e^{x} (x - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Passaggio 4.1.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$e^{x} (x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.3.2.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.3.2.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.3.3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{e^{x} (x - 3)}{x^{4}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{4} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{6 (3) e^{3} - {(3)}^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{{(3)}^{5}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$- \frac{18 e^{3} - 3^{2} e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{18 e^{3} - 1 \cdot 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- \frac{18 e^{3} - 9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $9 e^{3}$ da $18 e^{3}$ .

$- \frac{9 e^{3} - 12 e^{3}}{3^{5}}$

Passaggio 9.1.5

Sottrai $12 e^{3}$ da $9 e^{3}$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{3^{5}}$

Passaggio 9.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$- \frac{- 3 e^{3}}{243}$

Passaggio 9.2.2

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $243$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Scomponi $3$ da $- 3 e^{3}$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{243}$

Passaggio 9.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 9.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $243$ .

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 (81)}$

Passaggio 9.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 (- e^{3})}{3 \cdot 81}$

Passaggio 9.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{- e^{3}}{81}$

Passaggio 9.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- - \frac{e^{3}}{81}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $- - \frac{e^{3}}{81}$ .

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Passaggio 9.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{e^{3}}{81}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{e^{3}}{81}$ per $1$ .

$\frac{e^{3}}{81}$

Passaggio 10

$x = 3$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

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Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \frac{e^{3}}{{(3)}^{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 11.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (3) = \frac{e^{3}}{27}$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $\frac{e^{3}}{27}$ .

$y = \frac{e^{3}}{27}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$(3, \frac{e^{3}}{27})$ è un minimo locale

Passaggio 13