Calcolo Esempi

$y = 4 - 4 x^{2}$ , $y = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

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Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$4 - 4 x^{2} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $4 - 4 x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 1.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{2} = - 4$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 4$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 1.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ a $x$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Passaggio 2

Riordina $4$ e $- 4 x^{2}$ .

$y = - 4 x^{2} + 4$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $1$ .

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Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $- 4 x^{2} + 4$ .

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} + 4 d x$

Passaggio 4.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{- 1}^{1} - 4 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Passaggio 4.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 4$ fuori dall'integrale.

$- 4 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Passaggio 4.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Passaggio 4.6

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 4 d x$

Passaggio 4.7

Applica la regola costante.

$- 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 4.8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.8.1

Calcola $\frac{x^{3}}{3}$ per $1$ e per $- 1$ .

$- 4 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 x]_{- 1}^{1}$

Passaggio 4.8.2

Calcola $4 x$ per $1$ e per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3

Semplifica.

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Passaggio 4.8.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 4 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.5

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$- 4 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 \frac{1 + 1}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 4 (\frac{2}{3}) + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.8

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.9

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8}{3} + 4 \cdot 1 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.11

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- \frac{8}{3} + 4 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 4.8.3.12

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- \frac{8}{3} + 4 + 4$

Passaggio 4.8.3.13

Somma $4$ e $4$ .

$- \frac{8}{3} + 8$

Passaggio 4.8.3.14

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 4.8.3.15

$8$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.8.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 8 + 8 \cdot 3}{3}$

Passaggio 4.8.3.17

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.8.3.17.1

Moltiplica $8$ per $3$ .

$\frac{- 8 + 24}{3}$

Passaggio 4.8.3.17.2

Somma $- 8$ e $24$ .

$\frac{16}{3}$

Passaggio 5