Calcolo Esempi

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $y = 0$

Passaggio 1

Risolvi tramite sostituzione per trovare l'intersezione tra le curve.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

Passaggio 1.2

Risolvi $\sqrt{1 - x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Semplifica ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Semplifica.

$1 - x^{2} = 0^{2}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1 - x^{2} = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 1$

Passaggio 1.2.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 1.2.3.4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 1.2.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.3.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x$ per $1$ .

$y = 0$

Passaggio 1.4

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

$(1, 0)$

$(- 1, 0)$

Passaggio 2

Semplifica $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 3

L'area della regione tra le curve è definita come l'integrale della curva superiore meno l'integrale della curva inferiore rispetto a ciascuna regione. Le regioni sono determinate dai punti di intersezione delle curve. Questa operazione si può svolgere algebricamente o graficamente.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x - \int_{- 1}^{1} 0 d x$

Passaggio 4

Integra per trovare l'area tra $- 1$ e $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Combina gli interi in un singolo intero.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - (0) d x$

Passaggio 4.2

Sottrai $0$ da $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)} d x$

Passaggio 4.3

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Espandi $(1 + x) (1 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - x) + x (1 - x)$

Passaggio 4.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Passaggio 4.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 4.3.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 4.3.1.2.1.2

Moltiplica $- x$ per $1$ .

$1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Passaggio 4.3.1.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 - x + x + x (- x)$

Passaggio 4.3.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - x + x - x \cdot x$

Passaggio 4.3.1.2.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1.5.1

Sposta $x$ .

$1 - x + x - (x \cdot x)$

Passaggio 4.3.1.2.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$1 - x + x - x^{2}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - x^{2}$

Passaggio 4.3.1.3

Riordina $1$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Passaggio 4.3.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Passaggio 4.3.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 4.3.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 4.3.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 4.3.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 4.3.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.3.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Passaggio 4.3.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 1 + 0$

Passaggio 4.3.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e = 1$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.4

Sia $u_{1} = x + 0$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sia $u_{1} = x + 0$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Differenzia $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Passaggio 4.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 0$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 4.4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Passaggio 4.4.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.4.2

Sostituisci $x$ con il limite inferiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 1 + 0$

Passaggio 4.4.3

Somma $- 1$ e $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 4.4.4

Sostituisci $x$ con il limite superiore in $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Passaggio 4.4.5

Somma $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.4.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 4.4.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Passaggio 4.5

Sia $u_{1} = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Passaggio 4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Semplifica $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1.1

Riordina $- \sin^{2} (t)$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 4.6.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 4.6.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 4.6.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Passaggio 4.6.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 4.6.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 4.7

Utilizza la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 4.8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 4.9

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 4.10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Passaggio 4.11

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 4.11.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4.11.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 4.11.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.11.2

Sostituisci $t$ con il limite inferiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Passaggio 4.11.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{π}{2}$ nel numeratore.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 4.11.3.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Passaggio 4.11.3.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = - π$

Passaggio 4.11.4

Sostituisci $t$ con il limite superiore in $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.11.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.11.5.1

Elimina il fattore comune.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Passaggio 4.11.5.2

Riscrivi l'espressione.

$u_{upper} = π$

Passaggio 4.11.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Passaggio 4.11.7

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 4.12

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 4.13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 4.14

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 4.15

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.1

Calcola $t$ per $\frac{π}{2}$ e per $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Passaggio 4.15.2

Calcola $\sin (u_{2})$ per $π$ e per $- π$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.15.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.15.3.2

Somma $π$ e $π$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.15.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.15.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.15.3.3.2

Dividi $π$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.16.1.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Passaggio 4.16.1.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Passaggio 4.16.1.1.3

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Passaggio 4.16.1.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Passaggio 4.16.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Passaggio 4.16.1.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Passaggio 4.16.1.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $0$ .

$\frac{1}{2} (π + 0)$

Passaggio 4.16.2

Somma $π$ e $0$ .

$\frac{1}{2} π$

Passaggio 4.16.3

$\frac{1}{2}$ e $π$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 5