Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Passaggio 1.2.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - x^{2} - 19}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 20 x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Passaggio 1.3.2

Sposta il termine $20$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Passaggio 1.3.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 19}$

Passaggio 1.3.4

Calcola il limite di $19$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{20 lim_{x \to 1} x - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{20 \cdot 1 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.6.1.1

Moltiplica $20$ per $1$ .

$\frac{0}{20 - 1^{2} - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.6.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{20 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 1 \cdot 19}$

Passaggio 1.3.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $19$ .

$\frac{0}{20 - 1 - 19}$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $1$ da $20$ .

$\frac{0}{19 - 19}$

Passaggio 1.3.6.3

Sottrai $19$ da $19$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{20 x - x^{2} - 19} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x - x^{2} - 19]}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x - x^{2} - 19$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $20$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 3.5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + \frac{d}{d x} [- 19]}$

Passaggio 3.6

Poiché $- 19$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 19$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x + 0}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

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Passaggio 3.7.1

Somma $20 - 2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{20 - 2 x}$

Passaggio 3.7.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{- 2 x + 20}$

Passaggio 4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- 2 x + 20}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{1}{- 2 x + 20}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x (- 2 x + 20)}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x (- 2 x + 20)}$

Passaggio 8

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} - 2 x + 20}$

Passaggio 9

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 20)}$

Passaggio 10

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 20)}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $20$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Passaggio 12

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 lim_{x \to 1} x + 20)}$

Passaggio 12.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Passaggio 13

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $1$ .

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Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{1 \cdot (- 2 \cdot 1 + 20)}$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- 2 \cdot 1 + 20}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 13.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{- 2 + 20}$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 2$ e $20$ .

$\frac{1}{18}$