Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.1.3

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.2.3.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.2.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

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Passaggio 1.3.1.1

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Passaggio 1.3.3.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3.5

Somma $e^{x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Passaggio 3.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 3.6.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 3.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Passaggio 3.7

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])}$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) (6 \cdot 1)}$

Passaggio 3.9

Moltiplica $6$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Passaggio 3.10

Sposta $6$ alla sinistra di $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cdot \cos (6 x)}$

Passaggio 3.11

Moltiplica $6$ per $\cos (6 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{6 \cos (6 x)}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{\cos (6 x)}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Passaggio 6

Sposta il limite nell'esponente.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Passaggio 7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Passaggio 8

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{lim_{x \to 0} x}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 9.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Passaggio 9.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{e^{0}}{\cos (6 \cdot 0)}$

Passaggio 10

Semplifica la risposta.

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Passaggio 10.1

Combina.

$\frac{1 e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Passaggio 10.2

Moltiplica $e^{0}$ per $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (6 \cdot 0)}$

Passaggio 10.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.3.1

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cos (0)}$

Passaggio 10.3.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{e^{0}}{6 \cdot 1}$

Passaggio 10.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{1}{6 \cdot 1}$

Passaggio 10.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$\frac{1}{6}$