Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Passaggio 1.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}}$

Passaggio 1.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}}$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}}$

Passaggio 1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}}$

Passaggio 1.7

Semplifica.

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Passaggio 1.7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 1.7.2

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (x) = \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ come ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

$\frac{1}{5}$ e $- 1$ .

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{5}}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{5}}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1})$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 1 - 5}{5}})$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $5$ da $- 1$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{\frac{- 6}{5}})$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{5} (- \frac{1}{5} x^{- \frac{6}{5}})$

Passaggio 2.9

$x^{- \frac{6}{5}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{4}{5} (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Passaggio 2.10

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5}$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{5 \cdot 5}$

Passaggio 2.11

Moltiplica.

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Passaggio 2.11.1

Moltiplica $5$ per $5$ .

$- \frac{4 x^{- \frac{6}{5}}}{25}$

Passaggio 2.11.2

Sposta $x^{- \frac{6}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$- \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$