Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{1 + x^{2}})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $1 + x^{2}$ per $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.6

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.7

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.8

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}})$

Passaggio 1.9

$2$ e $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.10.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 + 2 (- x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{2 - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.10.3

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 2) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + \frac{d}{d x} (2)) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.2.7

Somma $- 4 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 2) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 2 (- 2 x^{2} + 2) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) - 4 (- 2 x^{2} + 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 4 x) + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{- 4 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.2

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3

Espandi $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.1.2

Somma $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.4.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 4 (2 x^{2}) - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.6.1

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4 \cdot 1) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.6.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 4 x^{4} - 8 x^{2} - 4) x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{4} x - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (x \cdot x^{4}) - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{1 + 4} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{2} x - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 (x \cdot x^{2}) - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{1 + 2} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.8.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (- 4 (- 2 x^{2}) - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.9.1

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 4 \cdot 2) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.9.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.10.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + (8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11

Espandi $(8 x^{2} - 8) (x^{3} + x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} (x^{3} + x) - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.11.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{2} x^{3} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.1

Sposta $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 (x^{3} x^{2}) + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{3 + 2} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.1.3

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{2} x - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{1 + 2} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.1.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.2

Sottrai $8 x^{3}$ da $8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} + 0 - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.1.12.3

Somma $8 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x + 8 x^{5} - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Somma $- 4 x^{5}$ e $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 4 x - 8 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3.3

Sottrai $8 x$ da $- 4 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) - 8 x^{3} - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.2

Scomponi $4 x$ da $- 8 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) - 12 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.3

Scomponi $4 x$ da $- 12 x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.4

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4}) + 4 x (- 2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.1.5

Scomponi $4 x$ da $4 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 4 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.3

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.4

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.5.4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 2.5.4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$f'' (x) = \frac{4 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.4.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ e ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Passaggio 2.5.5.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $4 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.5.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (4 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{4 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$