Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{e^{x}}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x - e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 1)] - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.6.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.2

Scomponi $x$ da $- 2 e^{x} (x - 1) x$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2.3

Scomponi $x$ da $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.7.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.4.1

Combina i termini opposti in $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Passaggio 2.8.4.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x e^{x}$ e $x (- 1 e^{x})$ .

$\frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.1.2

Sottrai $e^{x} x$ da $e^{x} x$ .

$\frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.1.3

Somma $x (x e^{x})$ e $0$ .

$\frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.8.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.2.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.4.3

Riordina i fattori in $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.5

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 2.8.6

Riordina i fattori in $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$