Calcolo Esempi

$f (x) = {(x^{2} + 9)}^{6}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$6 {(x^{2} + 9)}^{5} (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$

Passaggio 1.2.4.3

Riordina i fattori di $12 {(x^{2} + 9)}^{5} x$ .

$f' (x) = 12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x {(x^{2} + 9)}^{5}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{5}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{5}] + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 9$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 9$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4

Differenzia.

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Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.3

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 9)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 9)}^{4} x) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.8

Somma $1$ e $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica ${(x^{2} + 9)}^{5}$ per $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4}) + {(x^{2} + 9)}^{5})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

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Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $10$ per $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Passaggio 2.11.3

Scomponi $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ da $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4} + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

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Passaggio 2.11.3.1

Scomponi $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ da $120 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{4}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{5}$

Passaggio 2.11.3.2

Scomponi $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ da $12 {(x^{2} + 9)}^{5}$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$

Passaggio 2.11.3.3

Scomponi $12 {(x^{2} + 9)}^{4}$ da $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 9)$

Passaggio 2.11.4

Somma $10 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$ .

$12 {(x^{2} + 9)}^{4} (11 x^{2} + 9)$