Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 + 8 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(3 + 8 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $3 + 8 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((3 + 8 x) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (3 + 8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (8 x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} (8 x)}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - x^{2} (8 \frac{d}{d x} (x))}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \frac{d}{d x} x}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2} \cdot 1}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 + 8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 3 + 2 (8 x)) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x) + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x) x - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 (x \cdot x)) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 (8 x^{2}) - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 16 x^{2} - 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $8 x^{2}$ da $16 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 x^{2}}{{(3 + 8 x)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{8 x^{2} + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Scomponi $2 x$ da $8 x^{2} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Scomponi $2 x$ da $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 6 x}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Scomponi $2 x$ da $6 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x) + 2 x (3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (4 x) + 2 x (3)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{2}})$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{({(8 x + 3)}^{2})}^{2}})$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{2 \cdot 2}})$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x (4 x + 3)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 4 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \frac{d}{d x} (4 x + 3) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + \frac{d}{d x} (3)) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (x \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 \cdot x + (4 x + 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + (4 x + 3) \cdot 1) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Moltiplica $4 x + 3$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (4 x + 4 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.5.8.2

Somma $4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.6

Moltiplica ${(8 x + 3)}^{2}$ per $8 x + 3$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica ${(8 x + 3)}^{2}$ per $8 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $8 x + 3$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} (8 x + 3) - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.6.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2 + 1} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.6.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) \frac{d}{d x} {(8 x + 3)}^{2}}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 8 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 u \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 x + 3$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - x (4 x + 3) (2 (8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.8

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.8.2

Scomponi $8 x + 3$ da ${(8 x + 3)}^{3} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Scomponi $8 x + 3$ da ${(8 x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.8.2.2

Scomponi $8 x + 3$ da $- 2 x (4 x + 3) ((8 x + 3) \frac{d}{d x} [8 x + 3])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.8.2.3

Scomponi $8 x + 3$ da $(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{2} + (8 x + 3) (- 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [8 x + 3]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{{(8 x + 3)}^{4}})$

Passaggio 2.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Scomponi $8 x + 3$ da ${(8 x + 3)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.9.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 (\frac{(8 x + 3) ({(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3)))}{(8 x + 3) {(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.10

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (\frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.11

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.12

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.13

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + \frac{d}{d x} (3))}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.14

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) (8 + 0)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Somma $8$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 2 x (4 x + 3) \cdot 8}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.15.2

Moltiplica $8$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}})$

Passaggio 2.15.3

$2$ e $\frac{{(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x + 3))}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 ({(8 x + 3)}^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 {(8 x + 3)}^{2} + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.1

Riscrivi ${(8 x + 3)}^{2}$ come $(8 x + 3) (8 x + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((8 x + 3) (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.2

Espandi $(8 x + 3) (8 x + 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x + 3) + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x + 3)) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x \cdot x) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 (x \cdot x)) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (8 \cdot (8 x^{2}) + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.3

Moltiplica $8$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 8 x \cdot 3 + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 3 (8 x) + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.5

Moltiplica $8$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 3 \cdot 3) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.1.6

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 24 x + 24 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.3.2

Somma $24 x$ e $24 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2} + 48 x + 9) + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (64 x^{2}) + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.5.1

Moltiplica $64$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 2 (48 x) + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.5.2

Moltiplica $48$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 2 \cdot 9 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.5.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x (4 x)) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 (x \cdot x) \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 16 x^{2} \cdot 4) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.7

Moltiplica $4$ per $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 + 2 (- 64 x^{2}) + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.8

Moltiplica $- 64$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 16 x \cdot 3)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.9

Moltiplica $3$ per $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} + 2 (- 48 x)}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.1.10

Moltiplica $- 48$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.2

Combina i termini opposti in $128 x^{2} + 96 x + 18 - 128 x^{2} - 96 x$ .

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Passaggio 2.16.3.2.1

Sottrai $128 x^{2}$ da $128 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 + 0 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.2.2

Somma $96 x + 18$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{96 x + 18 - 96 x}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.2.3

Sottrai $96 x$ da $96 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 2.16.3.2.4

Somma $0$ e $18$ .

$f'' (x) = \frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{18}{{(8 x + 3)}^{3}}$