Calcolo Esempi

$\frac{6}{x^{2} - 16}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{6}{x^{2} - 16}$ come funzione.

$f (x) = \frac{6}{x^{2} - 16}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{2} - 16}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 16}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 16})$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} - 16}$ come ${(x^{2} - 16)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 16)}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Passaggio 2.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 16$ .

$f' (x) = 6 (- {(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (x) = - 6 ({(x^{2} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16))$

Passaggio 2.1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))$

Passaggio 2.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 2.1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 16)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 2.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = - 12 {(x^{2} - 16)}^{- 2} x$

Passaggio 2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 12 \frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

$- 12$ e $\frac{1}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}} \cdot x$

Passaggio 2.1.5.3

$x$ e $\frac{12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 12}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.1.5.4

Sposta $12$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$12 x = 0$

Passaggio 3.3

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 x = 0$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi $0$ per $12$ .

$x = 0$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x^{2} - 16)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${(x^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

${((x + 4) (x - 4))}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 4) (x - 4)$ .

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.3

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Imposta ${(x + 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Risolvi ${(x + 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.3.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5.2.4

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = - 4, 4$

Passaggio 5.3

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x = - 4, x = 4$

Passaggio 6

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{12 (- 5)}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $12$ per $- 5$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{({(- 5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $16$ da $25$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{9^{2}}$

Passaggio 7.2.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = - \frac{- 60}{81}$

Passaggio 7.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $- 60$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 (- 20)}{81}$

Passaggio 7.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Passaggio 7.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 5) = - \frac{3 \cdot - 20}{3 \cdot 27}$

Passaggio 7.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 5) = - \frac{- 20}{27}$

Passaggio 7.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 5) = \frac{20}{27}$

Passaggio 7.2.4

La risposta finale è $\frac{20}{27}$ .

$\frac{20}{27}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $\frac{20}{27}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{12 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $12$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{({(- 2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{{(- 12)}^{2}}$

Passaggio 8.2.2.3

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 24}{144}$

Passaggio 8.2.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.1

Scomponi $24$ da $- 24$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 (- 1)}{144}$

Passaggio 8.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1.2.1

Scomponi $24$ da $144$ .

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Passaggio 8.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- 2) = - \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 6}$

Passaggio 8.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- 2) = - \frac{- 1}{6}$

Passaggio 8.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = \frac{1}{6}$

Passaggio 8.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $\frac{1}{6}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, 0)$ .

Crescente su $(- 4, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - \frac{12 (2)}{{({(2)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(2^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(4 - 16)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $16$ da $4$ .

$f' (2) = - \frac{24}{{(- 12)}^{2}}$

Passaggio 9.2.2.3

Eleva $- 12$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - \frac{24}{144}$

Passaggio 9.2.3

Elimina il fattore comune di $24$ e $144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Scomponi $24$ da $24$ .

$f' (2) = - \frac{24 (1)}{144}$

Passaggio 9.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.2.1

Scomponi $24$ da $144$ .

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Passaggio 9.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (2) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 6}$

Passaggio 9.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (2) = - \frac{1}{6}$

Passaggio 9.2.4

La risposta finale è $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Passaggio 9.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- \frac{1}{6}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 4)$ .

Decrescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 10

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - \frac{12 (5)}{{({(5)}^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $12$ per $5$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(5^{2} - 16)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{{(25 - 16)}^{2}}$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $16$ da $25$ .

$f' (5) = - \frac{60}{9^{2}}$

Passaggio 10.2.2.3

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - \frac{60}{81}$

Passaggio 10.2.3

Elimina il fattore comune di $60$ e $81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Scomponi $3$ da $60$ .

$f' (5) = - \frac{3 (20)}{81}$

Passaggio 10.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $81$ .

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Passaggio 10.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f' (5) = - \frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 27}$

Passaggio 10.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (5) = - \frac{20}{27}$

Passaggio 10.2.4

La risposta finale è $- \frac{20}{27}$ .

$- \frac{20}{27}$

Passaggio 10.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- \frac{20}{27}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 11

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (- 4, 0)$

Decrescente su: $(0, 4), (4, \infty)$

Passaggio 12