Calcolo Esempi

$(2 - 2 x) e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $(2 - 2 x) e^{x}$ come funzione.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 2 - 2 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.1.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Passaggio 2.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.1.3.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Passaggio 2.1.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.6.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Passaggio 2.1.3.6.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Passaggio 2.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Passaggio 2.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Sottrai $2 e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $- 2 x e^{x}$ e $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Passaggio 2.1.4.3

Riordina i fattori di $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Passaggio 2.1.4.4

Riordina i fattori in $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 3.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 3.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 x e^{x} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0$ .

$0$

Passaggio 5

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = - 2 x e^{x}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Passaggio 6.2.3

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $\frac{2}{e}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Passaggio 7.2.2

La risposta finale è $- 2 e$ .

$- 2 e$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $- 2 e$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0)$

Decrescente su: $(0, \infty)$

Passaggio 9