Calcolo Esempi

$(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Passaggio 1

Scrivi $(x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$ come funzione.

$f (x) = (x - 9) (x^{2} - 18 x - 162)$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 9$ e $g (x) = x^{2} - 18 x - 162$ .

$f' (x) = (x - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 18 x - 162) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 18 x - 162$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [- 162]$ .

$f' (x) = (x - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + \frac{d}{d x} (- 162)) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.6

Poiché $- 162$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 162$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18 + 0) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.7

Somma $2 x - 18$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \frac{d}{d x} (x - 9)$

Passaggio 2.1.2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 2.1.2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + \frac{d}{d x} (- 9))$

Passaggio 2.1.2.10

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) (1 + 0)$

Passaggio 2.1.2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + (x^{2} - 18 x - 162) \cdot 1$

Passaggio 2.1.2.11.2

Moltiplica $x^{2} - 18 x - 162$ per $1$ .

$f' (x) = (x - 9) (2 x - 18) + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = (x - 9) (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + (x - 9) \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = x (2 x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.4.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 9 (2 x) + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.5

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x + x \cdot - 18 - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.6

Sposta $- 18$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 \cdot x - 9 \cdot - 18 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.7

Moltiplica $- 9$ per $- 18$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 18 x - 18 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.8

Sottrai $18 x$ da $- 18 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 36 x + 162 + x^{2} - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.9

Somma $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 162 - 18 x - 162$

Passaggio 2.1.3.4.10

Sottrai $18 x$ da $- 36 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 162 - 162$

Passaggio 2.1.3.4.11

Sottrai $162$ da $162$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 0$

Passaggio 2.1.3.4.12

Somma $3 x^{2} - 54 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 54 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 54 x$ .

$3 x^{2} - 54 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 54 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 54 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2} - 54 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $3 x$ da $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 54 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $3 x$ da $- 54 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 18) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $3 x$ da $3 x (x) + 3 x (- 18)$ .

$3 x (x - 18) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 18 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 18$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 18$ uguale a $0$ .

$x - 18 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 18$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 x (x - 18) = 0$ vera.

$x = 0, 18$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 18$ .

$0, 18$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 18) \cup (18, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 3 {(- 1)}^{2} - 54 \cdot - 1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = 3 \cdot 1 - 54 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (- 1) = 3 - 54 \cdot - 1$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = 3 + 54$

Passaggio 6.2.2

Somma $3$ e $54$ .

$f' (- 1) = 57$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $57$ .

$57$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $57$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, 0)$ .

Crescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 18)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f' (9) = 3 {(9)}^{2} - 54 \cdot 9$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f' (9) = 3 \cdot 81 - 54 \cdot 9$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $81$ .

$f' (9) = 243 - 54 \cdot 9$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $9$ .

$f' (9) = 243 - 486$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $486$ da $243$ .

$f' (9) = - 243$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 243$ .

$- 243$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 9$ la derivata è $- 243$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 18)$ .

Decrescente su $(0, 18)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(18, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $19$ nell'espressione.

$f' (19) = 3 {(19)}^{2} - 54 \cdot 19$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $19$ alla potenza di $2$ .

$f' (19) = 3 \cdot 361 - 54 \cdot 19$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $361$ .

$f' (19) = 1083 - 54 \cdot 19$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 54$ per $19$ .

$f' (19) = 1083 - 1026$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $1026$ da $1083$ .

$f' (19) = 57$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $57$ .

$57$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 19$ la derivata è $57$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(18, \infty)$ .

Crescente su $(18, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, 0), (18, \infty)$

Decrescente su: $(0, 18)$

Passaggio 10