Calcolo Esempi

$\frac{x - 3}{x + 4}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{x - 3}{x + 4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.4.2

Moltiplica $x + 4$ per $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 4 - (x - 3)}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + 4 - x - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x + 4 - x - - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 + 4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Somma $0$ e $4$ .

$\frac{4 - - 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.1.3.2.3

Somma $4$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Passaggio 3.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$7 = 0$

Passaggio 3.3

Poiché $7 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Non ci sono valori di $x$ nel dominio del problema originale per cui la derivata sia $0$ o indefinita.

Nessun punto critico trovato

Passaggio 5

Trova il punto in cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta il denominatore in $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Poni $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 6

Dopo aver trovato il punto che rende la derivata $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ uguale a $0$ o indefinita, l'intervallo per verificare dove $f (x) = \frac{x - 3}{x + 4}$ è crescente e dove è decrescente corrisponde a $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Somma $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $7$ per $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - 5$ la derivata è $7$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 4)$ .

Crescente su $(- \infty, - 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Somma $- 3$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $7$ per $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $7$ .

$7$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = - 3$ la derivata è $7$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 4, \infty)$ .

Crescente su $(- 4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Passaggio 10