Calcolo Esempi

$x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Passaggio 1

Scrivi $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 6 x^{2} - 63 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 63 x)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 63 x]$ .

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Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 63$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 63 x$ rispetto a $x$ è $- 63 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 63$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 63$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x - 63 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 12 x - 63$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x - 63 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) - 63 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 63$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot - 21$ .

$3 (x^{2} - 4 x - 21) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 4 x - 21$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 21$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 7, 3$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$3 ((x - 7) (x + 3)) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 7) (x + 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 7) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 7, - 3$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $7, - 3$ .

$7, - 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12 \cdot - 4 - 63$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot - 4 - 63$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f' (- 4) = 48 - 12 \cdot - 4 - 63$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 + 48 - 63$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 6.2.2.1

Somma $48$ e $48$ .

$f' (- 4) = 96 - 63$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $63$ da $96$ .

$f' (- 4) = 33$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $33$ .

$33$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 4$ la derivata è $33$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- \infty, - 3)$ .

Crescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 7)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 - 63$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 - 63$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 - 63$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 - 63$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $24$ da $12$ .

$f' (2) = - 12 - 63$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $63$ da $- 12$ .

$f' (2) = - 75$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 75$ .

$- 75$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $- 75$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- 3, 7)$ .

Decrescente su $(- 3, 7)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(7, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f' (8) = 3 {(8)}^{2} - 12 \cdot 8 - 63$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f' (8) = 3 \cdot 64 - 12 \cdot 8 - 63$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $3$ per $64$ .

$f' (8) = 192 - 12 \cdot 8 - 63$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $- 12$ per $8$ .

$f' (8) = 192 - 96 - 63$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $96$ da $192$ .

$f' (8) = 96 - 63$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $63$ da $96$ .

$f' (8) = 33$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $33$ .

$33$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 8$ la derivata è $33$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(7, \infty)$ .

Crescente su $(7, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- \infty, - 3), (7, \infty)$

Decrescente su: $(- 3, 7)$

Passaggio 10