Calcolo Esempi

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Passaggio 1

Scrivi $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $48$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $4$ da $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $4$ da $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $4$ da $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $4$ da $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.6

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Passaggio 3.2.1.7

Scomponi $4$ da $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.5

Sottrai $9$ da $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.6

Moltiplica $24$ per $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.7

Somma $- 8$ e $24$ .

$16 - 16$

Passaggio 3.2.2.3.8

Sottrai $16$ da $16$ .

$0$

Passaggio 3.2.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Passaggio 3.2.2.5

Dividi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Passaggio 3.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Passaggio 3.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Passaggio 3.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 3.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 8 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Passaggio 3.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Passaggio 3.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 3.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Passaggio 3.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 3.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $16 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 3.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Passaggio 3.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Passaggio 3.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Passaggio 3.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Passaggio 3.2.2.6

Scrivi $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ come insieme di fattori.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Passaggio 3.2.3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Passaggio 3.2.3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x - 4)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x - 4)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vera.

$x = 1, 4$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $1, 4$ .

$1, 4$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Passaggio 6.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $96$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $64$ da $0$ .

$f' (0) = - 64$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 64$ .

$- 64$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = 0$ la derivata è $- 64$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 {(\frac{5}{2})}^{3} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{5^{3}}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{2^{3}}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{8}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 (2)}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = 4 (\frac{125}{4 \cdot 2}) - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 {(\frac{5}{2})}^{2} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 \frac{25}{2^{2}} + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 36 (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $- 36$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 (- 9) (\frac{25}{4}) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + 4 \cdot (- 9 (\frac{25}{4})) + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 9 \cdot 25 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $- 9$ per $25$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 96 (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.10.1

Scomponi $2$ da $96$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 (48) (\frac{5}{2}) - 64$

Passaggio 7.2.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 2 \cdot (48 (\frac{5}{2})) - 64$

Passaggio 7.2.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 48 \cdot 5 - 64$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $48$ per $5$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} - 225 + 240 - 64$

Passaggio 7.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scrivi $- 225$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} + 240 - 64$

Passaggio 7.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 225}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225}{1} \cdot \frac{2}{2} + 240 - 64$

Passaggio 7.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 225}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + 240 - 64$

Passaggio 7.2.2.4

Scrivi $240$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} - 64$

Passaggio 7.2.2.5

Moltiplica $\frac{240}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240}{1} \cdot \frac{2}{2} - 64$

Passaggio 7.2.2.6

Moltiplica $\frac{240}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} - 64$

Passaggio 7.2.2.7

Scrivi $- 64$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1}$

Passaggio 7.2.2.8

Moltiplica $\frac{- 64}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.2.9

Moltiplica $\frac{- 64}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125}{2} + \frac{- 225 \cdot 2}{2} + \frac{240 \cdot 2}{2} + \frac{- 64 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 225 \cdot 2 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Moltiplica $- 225$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 240 \cdot 2 - 64 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4.2

Moltiplica $240$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 64 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4.3

Moltiplica $- 64$ per $2$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{125 - 450 + 480 - 128}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Sottrai $450$ da $125$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{- 325 + 480 - 128}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 325$ e $480$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{155 - 128}{2}$

Passaggio 7.2.5.3

Sottrai $128$ da $155$ .

$f' (\frac{5}{2}) = \frac{27}{2}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{5}{2}$ la derivata è $\frac{27}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(1, 4)$ .

Crescente su $(1, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = 4 {(5)}^{3} - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f' (5) = 4 \cdot 125 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $4$ per $125$ .

$f' (5) = 500 - 36 {(5)}^{2} + 96 (5) - 64$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = 500 - 36 \cdot 25 + 96 (5) - 64$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 36$ per $25$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 96 (5) - 64$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $96$ per $5$ .

$f' (5) = 500 - 900 + 480 - 64$

Passaggio 8.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $900$ da $500$ .

$f' (5) = - 400 + 480 - 64$

Passaggio 8.2.2.2

Somma $- 400$ e $480$ .

$f' (5) = 80 - 64$

Passaggio 8.2.2.3

Sottrai $64$ da $80$ .

$f' (5) = 16$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $16$ .

$16$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $16$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(4, \infty)$ .

Crescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(1, 4), (4, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 1)$

Passaggio 10