Calcolo Esempi

$- x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Passaggio 1

Scrivi $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ come funzione.

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

Passaggio 2.1.4.2

Somma $- 3 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 12 x$ .

$- 3 x^{2} + 12 x$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 12 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 12 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $- 3 x$ da $12 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 4 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $- 3 x$ da $- 3 x (x) - 3 x (- 4)$ .

$- 3 x (x - 4) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 3 x (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 4$ .

$0, 4$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 12 (- 1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $12$ da $- 3$ .

$f' (- 1) = - 15$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 15$ .

$- 15$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 15$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 4)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2)$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2)$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 12$ e $24$ .

$f' (2) = 12$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = 2$ la derivata è $12$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, 4)$ .

Crescente su $(0, 4)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5$ nell'espressione.

$f' (5) = - 3 {(5)}^{2} + 12 (5)$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f' (5) = - 3 \cdot 25 + 12 (5)$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $25$ .

$f' (5) = - 75 + 12 (5)$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $12$ per $5$ .

$f' (5) = - 75 + 60$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 75$ e $60$ .

$f' (5) = - 15$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 15$ .

$- 15$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 5$ la derivata è $- 15$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(4, \infty)$ .

Decrescente su $(4, \infty)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(0, 4)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (4, \infty)$

Passaggio 10