Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.5

Dividi $x$ per $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 1.1.1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Passaggio 1.1.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x \ln (x) + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 1.1.2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Passaggio 1.1.2.4.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 \ln (x) + 3$ .

$2 \ln (x) + 3$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $2 \ln (x) + 3 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$2 \ln (x) + 3 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \ln (x) = - 3$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \ln (x) = - 3$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 1.2.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{3}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = x$

Passaggio 1.2.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{3}{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} \ln (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x > 0$

Passaggio 2.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Notazione degli intervalli:

$(0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x > 0}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.11$ nell'espressione.

$f'' (0.11) = 2 \ln (0.11) + 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Semplifica $2 \ln (0.11)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (0.11) = \ln ({0.11}^{2}) + 3$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $0.11$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.11) = \ln (0.0121) + 3$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $\ln (0.0121) + 3$ .

$\ln (0.0121) + 3$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ perché $f'' (0.11)$ è negativo.

Funzione concava su $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f'' (3) = 2 \ln (3) + 3$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 \ln (3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f'' (3) = \ln (3^{2}) + 3$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (3) = \ln (9) + 3$

Passaggio 5.2.2

La risposta finale è $\ln (9) + 3$ .

$\ln (9) + 3$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ perché $f'' (3)$ è positivo.

Funzione convessa su $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(0, \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 7