Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 18$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + 6 x^{2} - 18$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 18]$

Passaggio 1.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.1.4.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 0$

Passaggio 1.1.1.4.2

Somma $- 3 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 12 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Passaggio 1.1.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 6 x + 12 \cdot 1$

Passaggio 1.1.2.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 12$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x + 12$ .

$- 6 x + 12$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 6 x + 12 = 0$ .

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Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 6 x + 12 = 0$

Passaggio 1.2.2

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x = - 12$

Passaggio 1.2.3

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 12$ e semplifica.

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Passaggio 1.2.3.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 12$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

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Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 12}{- 6}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 6}$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.3.1

Dividi $- 12$ per $- 6$ .

$x = 2$

Passaggio 2

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, 2)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 6 \cdot 0 + 12$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $12$ .

$f'' (0) = 12$

Passaggio 4.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- \infty, 2)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- \infty, 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

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Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f'' (4) = - 6 \cdot 4 + 12$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f'' (4) = - 24 + 12$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 24$ e $12$ .

$f'' (4) = - 12$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(2, \infty)$ perché $f'' (4)$ è negativo.

Funzione concava su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 6

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione convessa su $(- \infty, 2)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(2, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7