Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$

Passaggio 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Passaggio 1.1.1.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Passaggio 1.1.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 8 x + 41$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 41$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Passaggio 1.1.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))$

Passaggio 1.1.1.2.3

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))$

Passaggio 1.1.1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))$

Passaggio 1.1.1.2.5

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))$

Passaggio 1.1.1.2.6

Poiché $41$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $41$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8 + 0)$

Passaggio 1.1.1.2.7

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} \cdot (2 x - 8)$

Passaggio 1.1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41} (2 x - 8)$ .

$f' (x) = (2 x - 8) (\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41})$

Passaggio 1.1.1.3.2

Moltiplica $2 x - 8$ per $\frac{1}{x^{2} - 8 x + 41}$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 1.1.1.3.3

Scomponi $2$ da $2 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x) - 8}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 1.1.1.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 4}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 1.1.1.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 x + 2 \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$

Passaggio 1.1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 (x - 4)}{x^{2} - 8 x + 41}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x - 4}{x^{2} - 8 x + 41})$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 41$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \frac{d}{d x} (x - 4) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 8 x + 41) \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.4.2

Moltiplica $x^{2} - 8 x + 41$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 8 x + 41)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 8 x + 41$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [41]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.7

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.9

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} (41))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.10

Poiché $41$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $41$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8 + 0)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.11.1

Somma $2 x - 8$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}})$

Passaggio 1.1.2.3.11.2

$2$ e $\frac{x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 - (x - 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (x^{2} - 8 x + 41 + (- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.1

Moltiplica $- 8$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 41 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.2

Moltiplica $2$ per $41$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 ((- x + 4) (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.4

Espandi $(- x + 4) (2 x - 8)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x - 8) + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x - 8))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x \cdot x) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 (x \cdot x)) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 1 \cdot (2 x^{2}) - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 8 + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.4

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 4 (2 x) + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x + 4 \cdot - 8)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.1.6

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x + 8 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.5.2

Somma $8 x$ e $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2} + 16 x - 32)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.3.1.7.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 2 (16 x) + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.7.2

Moltiplica $16$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x + 2 \cdot - 32}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.1.7.3

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x + 82 - 4 x^{2} + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.2

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 16 x + 82 + 32 x - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.3

Somma $- 16 x$ e $32 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 82 - 64}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.3.4

Sottrai $64$ da $82$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2} + 16 x + 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 16 x + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 18}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $18$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 (8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2}) + 2 (8 x)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- x^{2} + 8 x) + 2 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.4.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 9 = - 9$ e la cui somma è $b = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.4.2.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 8 (x) + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2.1.2

Riscrivi $8$ come $- 1$ più $9$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + (- 1 + 9) x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} - 1 x + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.4.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$f'' (x) = \frac{2 ((- x^{2} - 1 x) + 9 x + 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$f'' (x) = \frac{2 (x (- x - 1) - 9 (- x - 1))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.4.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((- x - 1) (x - 9))}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

$f'' (x) = \frac{2 (- x - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.5

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x) - 1 \cdot 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.8

Riscrivi $- (x + 1)$ come $- 1 (x + 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- 1 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.10

Riordina i fattori in $- \frac{(2 (x + 1)) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- \frac{2 (x + 1) (x - 9)}{{(x^{2} - 8 x + 41)}^{2}} = 0$

Passaggio 1.2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$2 (x + 1) (x - 9) = 0$

Passaggio 1.2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 9 = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 1.2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 1.2.3.3

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 1.2.3.3.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 1.2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (x + 1) (x - 9) = 0$ vera.

$x = - 1, 9$

Passaggio 2

Trova il dominio di $f (x) = \ln (x^{2} - 8 x + 41)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'argomento in $\ln (x^{2} - 8 x + 41)$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x^{2} - 8 x + 41 > 0$

Passaggio 2.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 8 x + 41 = 0$

Passaggio 2.2.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = 41$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 41)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.3

Sottrai $164$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.4

Riscrivi $- 100$ come $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (100)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.7

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.1.9

Sposta $10$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Passaggio 2.2.4.3

Semplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Passaggio 2.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.3

Sottrai $164$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.4

Riscrivi $- 100$ come $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (100)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.7

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.1.9

Sposta $10$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Passaggio 2.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 4 + 5 i$

Passaggio 2.2.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 41}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $41$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 164}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.3

Sottrai $164$ da $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.4

Riscrivi $- 100$ come $- 1 (100)$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (100)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{100}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.7

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm i \cdot \sqrt{10^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{8 \pm i \cdot 10}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.1.9

Sposta $10$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{8 \pm 10 i}{2}$

Passaggio 2.2.6.3

Semplifica $\frac{8 \pm 10 i}{2}$ .

$x = 4 \pm 5 i$

Passaggio 2.2.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 4 - 5 i$

Passaggio 2.2.7

Identifica il coefficiente direttivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Il termine con l'esponente maggiore in un polinomio è il termine con il grado più alto.

$x^{2}$

Passaggio 2.2.7.2

Il coefficiente direttivo in un polinomio è il coefficiente del termine con l'esponente maggiore.

$1$

Passaggio 2.2.8

Poiché non c'è nessuna reale intercetta di x e il coefficiente direttivo è positivo, la parabola si apre in alto e $x^{2} - 8 x + 41$ è sempre maggiore di $0$ .

Tutti i numeri reali

Passaggio 2.3

Il dominio è l'insieme di numeri reali.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \in ℝ}$

Passaggio 3

Crea intervalli attorno ai valori di $x$ per cui la derivata seconda è zero o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 9) \cup (9, \infty)$

Passaggio 4

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f'' (- 4) = - \frac{2 ((- 4) + 1) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Somma $- 4$ e $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2 \cdot (- 3 (- 4 - 9))}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.1.3

Sottrai $9$ da $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{({(- 4)}^{2} - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 - 8 \cdot - 4 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(16 + 32 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Somma $16$ e $32$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{{(48 + 41)}^{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $48$ e $41$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{89^{2}}$

Passaggio 4.2.2.5

Eleva $89$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{- 6 \cdot - 13}{7921}$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $- 6$ per $- 13$ .

$f'' (- 4) = - \frac{78}{7921}$

Passaggio 4.2.4

La risposta finale è $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Passaggio 4.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (- 4)$ è negativo.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 5

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(- 1, 9)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - \frac{2 ((0) + 1) ((0) - 9)}{{({(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Somma $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot (1 (0 - 9))}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 9)}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.1.3

Sottrai $9$ da $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0^{2} - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 - 8 \cdot 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $0$ e $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{{(0 + 41)}^{2}}$

Passaggio 5.2.2.4

Somma $0$ e $41$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{41^{2}}$

Passaggio 5.2.2.5

Eleva $41$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 9}{1681}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f'' (0) = - \frac{- 18}{1681}$

Passaggio 5.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (0) = \frac{18}{1681}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è $\frac{18}{1681}$ .

$\frac{18}{1681}$

Passaggio 5.3

Il grafico è una funzione convessa sull'intervallo $(- 1, 9)$ perché $f'' (0)$ è positivo.

Funzione convessa su $(- 1, 9)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Passaggio 6

Sostituisci qualsiasi numero dell'intervallo $(9, \infty)$ nella derivata seconda e calcola per determinare la concavità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $12$ nell'espressione.

$f'' (12) = - \frac{2 ((12) + 1) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Somma $12$ e $1$ .

$f'' (12) = - \frac{2 \cdot (13 (12 - 9))}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $13$ .

$f'' (12) = - \frac{26 (12 - 9)}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Sottrai $9$ da $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(12^{2} - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 8 \cdot 12 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $- 8$ per $12$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(144 - 96 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.3

Sottrai $96$ da $144$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{{(48 + 41)}^{2}}$

Passaggio 6.2.2.4

Somma $48$ e $41$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{89^{2}}$

Passaggio 6.2.2.5

Eleva $89$ alla potenza di $2$ .

$f'' (12) = - \frac{26 \cdot 3}{7921}$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $26$ per $3$ .

$f'' (12) = - \frac{78}{7921}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è $- \frac{78}{7921}$ .

$- \frac{78}{7921}$

Passaggio 6.3

Il grafico è una funzione concava sull'intervallo $(9, \infty)$ perché $f'' (12)$ è negativo.

Funzione concava su $(9, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 7

Il grafico è una funzione concava quando la derivata seconda è negativa, mentre è una funzione convessa quando la derivata seconda è positiva.

Funzione concava su $(- \infty, - 1)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Funzione convessa su $(- 1, 9)$ poiché $f'' (x)$ è positivo

Funzione concava su $(9, \infty)$ poiché $f'' (x)$ è negativo

Passaggio 8