Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Passaggio 1

Cambia il limite bilatero in un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x^{2} + 2 x)}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Passaggio 2.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x^{2} + 2 x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}$

Passaggio 2.1.3

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Passaggio 2.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{- \infty}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{- \infty}{- \infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x^{2} + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

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Passaggio 2.3.8.1

Riordina i fattori di $\frac{1}{x^{2} + 2 x} (2 x + 2)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x^{2} + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.2

Scomponi $x$ da $x^{2} + 2 x$ .

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Passaggio 2.3.8.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.2.2

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 2}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{(2 x + 2) \frac{1}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.3

Moltiplica $2 x + 2$ per $\frac{1}{x (x + 2)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 x + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.4

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

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Passaggio 2.3.8.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.4.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x) + 2 (1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.8.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Passaggio 2.3.9

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)} x$

Passaggio 2.5

$\frac{2 (x + 1)}{x (x + 2)}$ e $x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.6.1

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1) x}{x (x + 2)}$

Passaggio 2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x + 1)}{x + 2}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x + 1}{x + 2}$

Passaggio 3.2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Passaggio 3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 2}$

Passaggio 3.6

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{lim_{x \to 0^{+}} x + 2}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \frac{0 + 1}{0 + 2}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Somma $0$ e $1$ .

$2 \frac{1}{0 + 2}$

Passaggio 5.2

Somma $0$ e $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$1$