Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} x^{3} \ln (x)$

Passaggio 1

Cambia il limite bilatero in un limite destro.

$lim_{x \to 0^{+}} x^{3} \ln (x)$

Passaggio 2

Riscrivi $x^{3} \ln (x)$ come $\frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Passaggio 3.1.2

Mentre $x$ tende a $0$ da destra, $\ln (x)$ diminuisce senza limite.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x^{- 3}}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3}}}$

Passaggio 3.1.3.2

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $x$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{x^{3}}$ tende a infinito.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.3.3

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$\frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{x^{- 3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{- 3}]}$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 x^{- 4}}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- 3 \frac{1}{x^{4}}}$

Passaggio 3.3.4.2

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{- 3}{x^{4}}}$

Passaggio 3.3.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{3}{x^{4}}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} (- \frac{x^{4}}{3})$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $\frac{x^{4}}{3}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{4}}{x \cdot 3}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.6.2.1

Scomponi $x$ da $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x (3)}$

Passaggio 3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 3}$

Passaggio 3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{x^{3}}{3}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{3}}{3}$

Passaggio 4.2

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$- \frac{1}{3} lim_{x \to 0^{+}} x^{3}$

Passaggio 4.3

Sposta l'esponente $3$ da $x^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$- \frac{1}{3} {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 6.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$0$