Calcolo Esempi

$f (x) = - 4 x^{2}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = - 4 {(x + h)}^{2}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi ${(x + h)}^{2}$ come $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = - 4 ((x + h) (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2

Espandi $(x + h) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x (x + h) + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Passaggio 2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Moltiplica $h$ per $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2

Somma $x h$ e $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.2.1

Riordina $x$ e $h$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.3.2.2

Somma $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = - 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Passaggio 2.1.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 4 (2 h x) - 4 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f (x + h) = - 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Passaggio 2.1.2.6

La risposta finale è $- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$ .

$- 4 x^{2} - 8 h x - 4 h^{2}$

Passaggio 2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $- 4 x^{2}$ .

$- 8 h x - 4 h^{2} - 4 x^{2}$

Passaggio 2.2.2

Riordina $- 8 h x$ e $- 4 h^{2}$ .

$- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

Passaggio 2.3

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

$f (x + h) = - 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2}$

$f (x) = - 4 x^{2}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} - (- 4 x^{2})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + 4 x^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- 4 h^{2} - 8 h x - 4 x^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Riscrivi $4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2}$ come ${(2 h + 2 x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riscrivi $4 h^{2}$ come ${(2 h)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + 4 x^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 8 h x + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 h x = 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x)$

Passaggio 4.1.3.4

Riscrivi il polinomio.

$\frac{- ({(2 h)}^{2} + 2 \cdot (2 h) \cdot (2 x) + {(2 x)}^{2}) + {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.3.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = 2 h$ e $b = 2 x$ .

$\frac{- {(2 h + 2 x)}^{2} + {(2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riordina $- {(2 h + 2 x)}^{2}$ e ${(2 x)}^{2}$ .

$\frac{{(2 x)}^{2} - {(2 h + 2 x)}^{2}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 2 h + 2 x$ .

$\frac{(2 x + 2 h + 2 x) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{(4 x + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.2

Scomponi $2$ da $4 x + 2 h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.2.1

Scomponi $2$ da $4 x$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.2.2

Scomponi $2$ da $2 h$ .

$\frac{(2 (2 x) + 2 h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.2.3

Scomponi $2$ da $2 (2 x) + 2 h$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h + 2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - (2 h) - (2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - (2 x))}{h}$

Passaggio 4.1.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (2 x + h) (2 x - 2 h - 2 x)}{h}$

Passaggio 4.1.6.6

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{2 (2 x + h) (- 2 h + 0)}{h}$

Passaggio 4.1.6.7

Somma $- 2 h$ e $0$ .

$\frac{2 (2 x + h) \cdot - 2 h}{h}$

Passaggio 4.1.6.8

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 (2 x + h) h}{h}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $- 4 (2 x + h)$ per $1$ .

$- 4 (2 x + h)$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (2 x) - 4 h$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- 8 x - 4 h$

Passaggio 5