Calcolo Esempi

$y = x^{4} - 4 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{4} - 4 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 2.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3} - 12 x^{2}$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $4 x^{2}$ da $- 12 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $4 x^{2}$ da $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ .

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = 0, 3$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, 3$ .

$0, 3$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (- 1) = - 4 - 12$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$f' (- 1) = - 16$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$- 16$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 1$ la derivata è $- 16$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, 3)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 {(\frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 \frac{9}{2^{2}}$

Passaggio 7.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 12 (\frac{9}{4})$

Passaggio 7.2.1.8

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 (- 3) (\frac{9}{4})$

Passaggio 7.2.1.8.2

Elimina il fattore comune.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 4 \cdot (- 3 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 7.2.1.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 3 \cdot 9$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $- 27$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

$- 27$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Sottrai $54$ da $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Passaggio 7.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{27}{2}$

Passaggio 7.2.7

La risposta finale è $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = \frac{3}{2}$ la derivata è $- \frac{27}{2}$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(0, 3)$ .

Decrescente su $(0, 3)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

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Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.1.1.1

Moltiplica $4$ per ${(4)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.1.2

Somma $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 256 - 12 {(4)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f' (4) = 256 - 12 \cdot 16$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $16$ .

$f' (4) = 256 - 192$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $192$ da $256$ .

$f' (4) = 64$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $64$ .

$64$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 4$ la derivata è $64$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(3, \infty)$ .

Crescente su $(3, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(3, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, 0), (0, 3)$

Passaggio 10