Calcolo Esempi

$y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 3 x^{4} + 4 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 4 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 2.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 3

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3} + 12 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{3}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $12 x^{2}$ da $12 x^{2} (x) + 12 x^{2} (1)$ .

$12 x^{2} (x + 1) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 x^{2} (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 4

I valori che rendono la derivata uguale a $0$ sono $0, - 1$ .

$0, - 1$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 12 \cdot 4$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $12$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 96 + 48$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 96$ e $48$ .

$f' (- 2) = - 48$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 48$ .

$- 48$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $x = - 2$ la derivata è $- 48$ . Poiché il valore è negativo, la funzione è decrescente su $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{8}$ nel numeratore.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.6

$3$ e $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 7.2.1.9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Passaggio 7.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 7.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{2^{2}})$

Passaggio 7.2.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 12 (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.14.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 (3) (\frac{1}{4})$

Passaggio 7.2.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4}))$

Passaggio 7.2.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3$

Passaggio 7.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 7.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 7.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6}{2}$

Passaggio 7.2.5.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Passaggio 7.2.6

La risposta finale è $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $x = - \frac{1}{2}$ la derivata è $\frac{3}{2}$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(- 1, 0)$ .

Crescente su $(- 1, 0)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata per determinare se la funzione è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = 12 {(1)}^{3} + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 \cdot 1 + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (1) = 12 + 12 {(1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f' (1) = 12 + 12 \cdot 1$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f' (1) = 12 + 12$

Passaggio 8.2.2

Somma $12$ e $12$ .

$f' (1) = 24$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $24$ .

$24$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $x = 1$ la derivata è $24$ . Poiché il valore è positivo, la funzione è crescente su $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f' (x) > 0$

Passaggio 9

Elenca gli intervalli in cui la funzione è crescente e decrescente.

Crescente su: $(- 1, 0), (0, \infty)$

Decrescente su: $(- \infty, - 1)$

Passaggio 10