Calcolo Esempi

$\frac{x - 1}{x + 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Combina i termini opposti in $x + 1 - x - - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Somma $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2.3

Somma $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ come ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

$- 4$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$