Calcolo Esempi

${(x^{2} + 1)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} + 1) (2 x)$

Passaggio 1.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 (x^{2} + 1) x$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) x$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot 1 x$

Passaggio 1.3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.3.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot 1 x$

Passaggio 1.3.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot 1 x$

Passaggio 1.3.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot 1 x$

Passaggio 1.3.3.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 4$