Calcolo Esempi

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Combina i termini opposti in $2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1.1

Sottrai $2 x^{2} x$ da $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) + 0 - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.1.2

Somma $2 \cdot - 1 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 1 x) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x - 2 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.5.3

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.7.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Passaggio 1.3.7.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Passaggio 1.3.7.3

Applica la regola del prodotto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica ${(x + 1)}^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x + 1)}^{2}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x ({(x + 1)}^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 1)}^{2} (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) (1 + 0) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) \cdot 1 + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.6.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2}))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (2 (x + 1) \frac{d}{d x} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 \cdot ({(x - 1)}^{2} (x + 1)) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) (1 + 0))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1) \cdot 1)}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.3

$- 4$ e $\frac{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.8.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{(4) ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Applica la regola del prodotto a ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1) + 2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} - x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)) - x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1.1

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.2

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 (- x (2 {(x + 1)}^{2} (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.3

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 (- x (2 {(x - 1)}^{2} (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.4

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1)) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x + 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.1.5

Scomponi $4 (x + 1) (x - 1)$ da $4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1))) + 4 (x + 1) (x - 1) (- x (2 (x - 1)))$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - x (2 (x + 1)) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - x (2 (x - 1)))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x (x - 1) + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - x + x - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 0 - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x (x + 1) - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.4.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 1 - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x (x - 1))}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.7

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.7.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.3.8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.4

Combina i termini opposti in $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.4.1

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.4.2

Somma $x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (x^{2} - 1 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- x^{2} - 1 - 2 x^{2})}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.4.6

Sottrai $2 x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{({(x + 1)}^{2})}^{2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.9.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.9.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.3

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.3.1

Scomponi $x + 1$ da $4 (x + 1) (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.3.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.9.5.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x + 1) ((4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Passaggio 2.9.5.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{(4 (x - 1)) (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.4

Elimina il fattore comune di $x - 1$ e ${(x - 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.4.1

Scomponi $x - 1$ da $4 (x - 1) (- 3 x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.9.5.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.4.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.9.5.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - \frac{(x - 1) (4 (- 3 x^{2} - 1))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Passaggio 2.9.5.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - \frac{4 (- 3 x^{2} - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.7

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.9

Riscrivi $- (3 x^{2} + 1)$ come $- 1 (3 x^{2} + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (- 1 (3 x^{2} + 1))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9.11

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}})$

Passaggio 2.9.12

Moltiplica $\frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2} + 1)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$