Calcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 1) x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Scomponi $x$ da $x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Scomponi $x$ da $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x (x - 2)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \frac{d}{d x} (x)) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + (x - 2) \cdot 1) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $x - 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (x + x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.4.6.2

Somma $x$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - x (x - 2) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.2.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{2} (2 x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) - 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.2

Scomponi $x - 1$ da $- 2 x (x - 2) ((x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.6.2.3

Scomponi $x - 1$ da $(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2)) + (x - 1) (- 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Passaggio 2.7

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.7.1

Scomponi $x - 1$ da ${(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x (x - 2)}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1

Espandi $(x - 1) (2 x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.2.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1.3.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2

Combina i termini opposti in $2 x^{2} - 4 x + 2 - 2 x^{2} + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.1

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 0 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Somma $- 4 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x + 2 + 4 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.3

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.12.2.2.4

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 1)}^{3}}$