Calcolo Esempi

$\frac{1}{1 + t}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $\frac{1}{1 + t}$ come ${(1 + t)}^{- 1}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} ({(1 + t)}^{- 1})$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + t$ .

$f' (t) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d t} (1 + t)$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (t) = - u^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} (1 + t)$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} (t))$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \frac{d}{d t} t$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2} \cdot 1$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (t) = - {(1 + t)}^{- 2}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = - \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ come ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {({(1 + t)}^{2})}^{- 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 + t)}^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = - \frac{d}{d t} {(1 + t)}^{- 2} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{- 2}$ e $g (t) = 1 + t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 + t$ .

$f'' (t) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$f'' (t) = - (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t$ .

$f'' (t) = - (- 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (t) = 2 ({(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (1 + t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} (1) + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} (t)) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} (t) + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot \frac{d}{d t} (- 1)$

Passaggio 2.4.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(1 + t)}^{2}} \cdot 0$

Passaggio 2.4.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.8.1

Moltiplica $\frac{1}{{(1 + t)}^{2}}$ per $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3} + 0$

Passaggio 2.4.8.2

Somma $2 {(1 + t)}^{- 3}$ e $0$ .

$f'' (t) = 2 {(1 + t)}^{- 3}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = 2 (\frac{1}{{(1 + t)}^{3}})$

Passaggio 2.5.2

$2$ e $\frac{1}{{(1 + t)}^{3}}$ .

$f'' (t) = \frac{2}{{(1 + t)}^{3}}$

Passaggio 2.5.3

Riordina i termini.

$f'' (t) = \frac{2}{{(t + 1)}^{3}}$