Calcolo Esempi

${(1 - x)}^{- 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [1 - x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 {(1 - x)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 {(1 - x)}^{- 3}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 1.3.2

$2$ e $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{{(1 - x)}^{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}$ come ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(1 - x)}^{3})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(1 - x)}^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{3 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{- 3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $1 - x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 - x$ .

$2 (- 3 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 6 ({(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [1 - x])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 2.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 {(1 - x)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4} \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 {(1 - x)}^{- 4}$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

$6$ e $\frac{1}{{(1 - x)}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(1 - x)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{6}{{(- x + 1)}^{4}}$