Calcolo Esempi

$\frac{17}{x^{2} + 12}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Poiché $17$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{17}{x^{2} + 12}$ rispetto a $x$ è $17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ .

$17 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2} + 12}$ come ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ .

$17 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{- 1}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 12$ .

$17 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$17 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 12$ .

$17 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $17$ .

$- 17 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [12])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.5.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 17 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 17$ .

$- 34 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 34 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.4.2.1

$- 34$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$\frac{- 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}} x$

Passaggio 1.4.2.3

$x$ e $\frac{34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 34}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Passaggio 1.4.2.4

Sposta $34$ alla sinistra di $x$ .

$f' (x) = - \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 34$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{34 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ .

$- 34 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica ${(x^{2} + 12)}^{2}$ per $1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 12)}^{2}]}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 12$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.5

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 34 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{2}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.2

Scomponi $x^{2} + 12$ da $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.5.2.3

Scomponi $x^{2} + 12$ da $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

Passaggio 2.6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.6.1

Scomponi $x^{2} + 12$ da ${(x^{2} + 12)}^{4}$ .

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$- 34 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [12])}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.9

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.10.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.13

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.14

Somma $1$ e $1$ .

$- 34 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.15

Sottrai $4 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$- 34 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.16

$- 34$ e $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ .

$\frac{- 34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{34 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.18

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{34 (- 3 x^{2}) + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.18.2.1

Moltiplica $- 3$ per $34$ .

$- \frac{- 102 x^{2} + 34 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

Passaggio 2.18.2.2

Moltiplica $34$ per $12$ .

$f'' (x) = - \frac{- 102 x^{2} + 408}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$