Calcolo Esempi

$\frac{2 x + 1}{x - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1] - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [1]) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 + 0) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.6.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 2 - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (x - 1) - (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 1) - (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 1) - (2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x - 1) - (2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.2.10.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x - 1) - (2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.2.10.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x - 1) - (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.3.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - (2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x - 2 - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2

Combina i termini opposti in $2 x - 2 - 2 x - 1$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 - 2 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{- 2 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.3.3

Sottrai $1$ da $- 2$ .

$\frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 2.1.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ come ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x - 1)}^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$- 3 (- 2 {(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$6 ({(x - 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 {(x - 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 {(x - 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 {(x - 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$6 {(x - 1)}^{- 3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 {(x - 1)}^{- 3}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$

Passaggio 2.4.2

$6$ e $\frac{1}{{(x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(x - 1)}^{3}}$