Calcolo Esempi

$\frac{9}{\sqrt[3]{x + 1}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x + 1}$ come ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{9}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$

Passaggio 1.1.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.3.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.3.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Passaggio 1.1.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.6.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$9 (- \frac{1}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.8

${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.9

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.9.1

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.9.2

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$- 9 (\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 1.10

$\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ e $- 9$ .

$\frac{- 9}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.11

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.12

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.12.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 ({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 1.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.16

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 1.17

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.17.1

Somma $1$ e $0$ .

$- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 1.17.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = - \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}]$

Passaggio 2.1.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ come ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}]$

Passaggio 2.1.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4}{3} \cdot - 1}]$

Passaggio 2.1.2.2.2

Moltiplica $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{4 \cdot - 1}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{- 4}{3}}]$

Passaggio 2.1.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- \frac{4}{3}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- \frac{4}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 1$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - \frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} u^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 4 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.6.2

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 3 (- \frac{4}{3} {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.8

${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$- 3 (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.9

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ .

$- 3 (- \frac{4 \cdot {(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.9.2

Sposta ${(x + 1)}^{- \frac{7}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 (- \frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.9.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$3 (\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 2.10

$\frac{4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ e $3$ .

$\frac{4 \cdot 3}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.11

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.12

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Scomponi $3$ da $3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 ({(x + 1)}^{\frac{7}{3}})} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.13.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 4}{3 {(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.13.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.14

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 2.16

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} (1 + 0)$

Passaggio 2.17

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}} \cdot 1$

Passaggio 2.17.2

Moltiplica $\frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(x + 1)}^{\frac{7}{3}}}$