Calcolo Esempi

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $6 y^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $y$ è $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{5}{2}$ e $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.8

$6$ e $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $5$ per $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $2$ da $30 y^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.11

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $15 y^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 5 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 x y$ rispetto a $y$ è $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Passaggio 1.4

Poiché $- 7 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Somma $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ e $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Passaggio 1.5.2

Riordina i termini.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.1.2

Poiché $- 5 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $15 y^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $y$ è $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 2.2.7

$\frac{3}{2}$ e $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.2.8

$15$ e $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $3$ per $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$