Calcolo Esempi

$15 x \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x \sin (x)$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$15 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza.

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Passaggio 1.4.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$15 (x \cos (x) + \sin (x))$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = 15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x \cos (x) + 15 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x \cos (x)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x \cos (x)$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$15 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [15 \sin (x)]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$15 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 15 \cos (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$15 (x (- \sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$- 15 (x (\sin (x))) + 15 \cos (x) + 15 \cos (x)$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $15 \cos (x)$ e $15 \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 15 x \sin (x) + 30 \cos (x)$