Calcolo Esempi

$x + \frac{32}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{32}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 1.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $- 2$ per $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

$- 64$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{64}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

$192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $\frac{192}{x^{4}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$