Calcolo Esempi

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

Passaggio 1

Per calcolare il volume del solido, devi innanzitutto definire l'area di ogni sezione, quindi eseguire l'integrazione su tutto l'intervallo. L'area di ogni sezione è un cerchio con raggio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ dove $f (x) = 4$ e $g (x) = 4 \sqrt{x}$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

Passaggio 2.2

Applica la regola del prodotto a $4 \sqrt{x}$ .

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

Passaggio 2.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Passaggio 2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Passaggio 2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Passaggio 2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$V = 16 - (16 x)$

Passaggio 2.4.5

Semplifica.

$V = 16 - (16 x)$

Passaggio 2.5

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$V = 16 - 16 x$

Passaggio 3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Passaggio 5

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 16$ fuori dall'integrale.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Passaggio 7.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Calcola $16 x$ per $1$ e per $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Passaggio 7.2.2

Calcola $\frac{x^{2}}{2}$ per $1$ e per $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 7.2.3

Semplifica.

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Passaggio 7.2.3.1

Moltiplica $16$ per $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 7.2.3.2

Moltiplica $- 16$ per $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 7.2.3.3

Somma $16$ e $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 7.2.3.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Passaggio 7.2.3.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Passaggio 7.2.3.6

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 7.2.3.6.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Passaggio 7.2.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Passaggio 7.2.3.6.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

Passaggio 7.2.3.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

Passaggio 7.2.3.8

Somma $\frac{1}{2}$ e $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

Passaggio 7.2.3.9

$- 16$ e $\frac{1}{2}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

Passaggio 7.2.3.10

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.10.1

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

Passaggio 7.2.3.10.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.10.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

Passaggio 7.2.3.10.2.2

Elimina il fattore comune.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

Passaggio 7.2.3.10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

Passaggio 7.2.3.10.2.4

Dividi $- 8$ per $1$ .

$V = π (16 - 8)$

Passaggio 7.2.3.11

Sottrai $8$ da $16$ .

$V = π \cdot 8$

Passaggio 7.2.3.12

Sposta $8$ alla sinistra di $π$ .

$V = 8 π$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$V = 8 π$

Forma decimale:

$V = 25.13274122 \dots$

Passaggio 9