Calcolo Esempi

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = | x |$ e $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $| u_{2} |$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ per $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.4

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.5

Eleva $\sec (x) + \tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.6

Eleva $\sec (x) + \tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.8

Differenzia usando la regola della somma.

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Passaggio 3.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Passaggio 3.8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sec (x) + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.9

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Passaggio 3.10

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Passaggio 3.11

Semplifica.

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Passaggio 3.11.1

Riordina i fattori di $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

Passaggio 3.11.2

Rimuovi i termini non negativi dal valore assoluto.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3

Elimina il fattore comune di $\sec (x) + \tan (x)$ e ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

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Passaggio 3.11.3.1

Moltiplica per $1$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3.11.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.11.3.2.1

Scomponi $\sec (x) + \tan (x)$ da ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Passaggio 3.11.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Passaggio 3.11.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.4

Applica la proprietà distributiva.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.5

Moltiplica $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Passaggio 3.11.5.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ e $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.5.2

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.6

$\sec^{2} (x)$ e $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.8

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ .

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Passaggio 3.11.8.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.8.2

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 3.11.8.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$